مجموعه اعداد

ما در تمام عمر با اعداد سر و کار داشته‌ایم و از همان بچگی بسیاری از مجموعه‌ها را می‌شناختیم. پس بد نیست، در این‌جا و به اختصار با برخی از آن‌ها آشنا شویم.

اولین مجموعه‌ای که می‌شناسیم اعداد طبیعی (Natural numbers) است که شامل اعداد مثبت ساده خواهد بود و اعداد اعشاری، کسری، منفی، رادیکالی و… به آن ربطی نخواهند داشت. این مجموعه از عدد ۱ آغاز می‌شود و تا مثبت بی‌نهایت ادامه پیدا می‌کند.

دومین مجموعۀ مهمی که می‌توانیم ذکر کنیم، مجموعۀ اعداد حسابی (Whole) است که از صفر شروع می‌شود و تا بی‌نهایت ادامه دارد. این مجموعه نیز مانند مجموعۀ اعداد طبیعی تنها شامل اعداد ساده می‌شود.

از مجموعه‌های مهم دیگر، می‌توان مجموعۀ اعداد صحیح (Zahlen) را نام برد که شامل اعداد مثبت و منفی ساده به همراه صفر است. پس در این مجموعه نیز خبری از اعداد کسری، اعشاری، رادیکالی و… نخواهد بود. این اعداد در بازۀ مثبت بی‌نهایت تا منفی بی‌نهایت [∞ و ∞-] قرار می‌گیرند.

بد نیست با هم نمونه‌ای از هر یک از این مجموعه‌ها را نگاه کنیم و به خاطر بسپاریم:

لازم به ذکر است مجموعه‌های گفته شده به ترتیب زیرمجموعۀ یکدیگر هستند؛ یعنی مجموعۀ اعداد طبیعی زیرمجموعۀ اعداد حسابی و هر دوی آن‌ها زیرمجموعۀ اعداد صحیح هستند. اما حواستان باشد که عکس این رابطه برقرار نیست.

مجموعه‌های بالا تمامی مجموعه‌هایی بودند که همگی آن‌ها را می‌شناسیم و بارها از آن‌ها استفاده کرده‌ایم. حالا زمان آن رسیده که با مجموعه‌ای بسیار بزرگ‌تر که شامل تمام مجموعه‌های گفته شده و بسیاری از مجموعه‌های نه چندان معروف دیگر که نامی ازشان برده نشده آشنا شویم. این مجموعۀ بسیار بزرگ، مجموعۀ اعداد گویا (Quoziente) است. مجموعۀ اعداد گویا را به اختصار با علامت و حرف Q نشان می‌دهند و این مجموعه به صورت کسری متشکل از اعداد a و b و تنها به رابطۀ a/b است. این رابطه دو شرط دارد: اول آن که a و b حتماً باید عضو اعداد صحیح باشند و دوم، عدد b هرگز نباید صفر باشد.

در این‌جا برای برخی از شما شاید سوالی پیش بیاید: پس اعداد گویا فقط اعداد کسری هستند و شامل اعداد ساده نمی‌شوند؟

در پاسخ باید بگوییم، خیر! هر عددی به خودی خود، کسری هم هست. به عنوان مثال، عدد ۵ به نوعی یک کسر نیز هست و می‌توانیم آن را به صورت ۵/۱ بنویسیم. همچنین مشخص است که هر عدد اعشاری نیز به نوعی عددی کسری است. عدد ۰.۵ را فرض کنید که می‌توانیم آن را به صورت ۵/۱۰ بنویسیم. نکتۀ جالب این است که بدانید اعداد با دورۀ گردش (مثلاً …۵.۳۳۳۳) نیز جزو اعداد گویا هستند. تصویر زیر نمونه‌ای از چند عدد گویاست:

خب برای آن که خیلی هم خسته نشوید، این مطلب را در همین‌جا به پایان می‌رسانیم و در مطلب بعدی به سراغ مجموعه‌های مکمل خواهیم رفت.

منتظر مطالب بعدی باشید!